拟阵基的交图的性质

【摘要】图论和拟阵理论在二十世纪经历了空前的发展.图论起源于著名的哥尼斯堡七桥问题.在图论的历史中,还有一个最著名的问题-四色问题.四色问题又称四色猜想,是世界近代三大数学难题之一.四色猜想的提出来自英国.1852年,毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现了一种有趣的现象：”看来,每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色.”1872年,英国当时最著名的数学家Cayley正式向伦敦数学学会提出了这个问题,于是四色猜想成了世界数学界关注的问题.世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战.1878-1880年两年间,著名律师兼数学家Kapel和Taylor两人分别提交了证明四色猜想的论文,宣布证明了四色定理.但后来数学家Heawood以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的.不久,Taylor的证明也被人们否定了.于是,人们开始认识到,这个貌似容易的题目,其实是一个可与费马猜想相媲美的难题.二十世纪三十年代,Whitney在他的论文中,作为对矩阵和向量的独立性的抽象概括,首次提出了拟阵的概念.同时,拟阵也抽象了很多图的性质.拟阵理论为组合优化问题和设计多项式算法提供了强有力的工具.图的支撑树及拟阵的基都是组合理论的基本研究对象.一个连通图的树图能够反映该图的不同支撑树之间的变换关系.因此,研究一个图的树图有助于我们更好地了解该图的性质.同样的一个拟阵的基图能够反映该拟阵的不同基之间的变换关系.因此,研究一个拟阵的基图有助于我们更好地了解该拟阵的性质.近些年来,树图和拟阵的基图被推广得到了一些新的图类为了研究拟阵中圈的性质,P.Li和G.Liu提出了拟阵圈图的概念,并且研究了拟阵圈图的连通度,圈图中的路和圈的性质.为了进一步研究拟阵中基的性质,Y.Zhang和G.Liu提出了拟阵基的交图的概念.设G是一个图,图G的点集和边集分别记为V(G)和E(G).包含G的每个点的路称为G的一条哈密尔顿路；同样的,包含G的每个点的圈称为G的一个哈密尔顿圈.如果一个图存在一个哈密尔顿圈,则称之为哈密尔顿的.如果对于一个图G的任意两个顶点来说,G都有一条哈密尔顿路连接他们,则称G是哈密尔顿连通的.如果对一个图G的任意一条边来说,G都有一个含这条边的哈密尔顿圈,则称G是边哈密尔顿的,或者称G是正哈密尔顿的,写作G∈H+.如果对一个图G的任意一条边来说,G都有一个不包含这条边的哈密尔顿圈,则称G是负哈密尔顿的,写作G∈H-.如果G既是正哈密尔顿的,又是负哈密尔顿的,我们称G是一致哈密尔顿的.一个拟阵M就是对于一个有限集E,令I为集合E中非空子集族,它满足如下的条件：(I1)(?)∈I(12)若I2∈I且I1(?)I2,则I1∈I;(13)若I1,I2∈I并且|I1|<|I2|,则存在e∈I2\I1,使得I1∪{e}∈I.那么我们称M=(E,I)为定义在有限集E上的拟阵.当I∈Z(M),我们称I为M的一个独立集.对于不在Z中E的子集,我们称之为相关集.极小的相关集称为拟阵的圈,我们可以用拟阵的圈集合去定义拟阵.令E为一个含有有限个元素的集合.令C为集合E中非空子集族,它满足如下的公理：(C1)(?)C;(C2)若C1,C2∈C且C1∈C2,则C1=C2；(C3)若C1≠C2,C1,C2∈C并且存在e∈C1∩C2,则恒有C3∈C满足C3∈(C1∪C2)-e.拟阵M的一个极大独立集被称为拟阵M的基,表示为B(M).拟阵M中一个基B(M)的元素个数定义为拟阵M的秩.令B(M)表示拟阵M中基的集合.同样我们也可以用拟阵的基来定义拟阵：(B1)所有的基的基数相同；(B2)如果B1,B2∈B且x∈B1,则存在y∈B2,使得(B1\{x})∪{y}∈B.拟阵M=(E,B)的基图是这样的一个图G,其中V(G)=B,E(G)={BB’|B,B’∈B,|B\B’|=1},注意在这里图G的顶点和M的基用同样的符号表示.现在我们给出拟阵基的交图的概念.定义拟阵M的基的交图G=G(M)的顶点集V(G)=B,边集E(G)={BB’|B,B’∈B,|B∩B’|≠0}这里B和B’既代表G的顶点,也代表M的基.下面我们给出整数流,也就是处处非零的k-流的定义：给定一个图G,设D为图G的一个方向,设函数f:E(G)→Z,使得-k<f(e)<k,对于任意的e∈E(G)都成立.序偶(D,f)称为图G的k-流,如果对于任意的u∈V(G),它满足平衡条件：其中,E+(v)和E-(v)分别表示方向在点上出边的集合和入边的集合.一个k-流(D,f)是处处非零的(或简称为k-NZF)如果f(e)≠0,对于任意的e∈E(G)都成立.设图G是无向图,A是一个非平凡的阿贝尔加群(单位元为0),A*是A中非零元素所构成的集合.我们定义F(G,A)={f|f:E(G)→4)和F*(G,A)={f|f:E(G)→A*).对于每一个f∈F(G,A),f的边界函数(?)f(v):V(G)→A的定义如下：其中“∑”指的是阿贝尔群里的加法.我们定义一个图G的处处非零A-流(简称A-NZF)指的是一个函数f∈F*(G,A)使得(?)f=0成立.如果一个图G有一个处处非零的k-流当且仅当图G有一个处处非零的Zk-流.对于任意的b∈Z(G,A),如果有一个函数f∈F*(G,A)使得af=b成立,那么我们称f是一个处处非零(A,b)-流(简称(A,b)-NZF).Jaeger等人推广了整数流的概念,提出了A-连通的概念,一个无向图G称为A-连通的,如果G的每一个定向G’对于每一个函数b∈Z(G’,A),都存在一个(A,b)一NZF,记作G∈(A).同样的,G有A-NZF当G有定向G’使得G’有A-NZF.A-连通性的概念是Jaeger等人在[31]中提出的,A-NZF与A-连通性有密切关联.本文主要研究的是拟阵基的交图的一致哈密尔顿性,边不交的哈密尔顿圈个数,图中顶点不交的圈以及拟阵基图的整数流性质,全文共分为四章.第一章给出了一个相对完整的简介.首先介绍一些图论中的基本术语和定义,然后给出了关于树图,拟阵基图以及森林图的一个简短但相对完整的综述,并介绍了拟阵基的交图和整数流的研究现状,最后,给出了本文的主要结论.第二章我们研究了拟阵基的交图中的哈密尔顿圈.首先我们给出了一个对于拟阵基的交图的简短的介绍.然后我们证明了拟阵基的交图的一致哈密尔顿性,接着我们还继续证明了简单拟阵的拟阵基的交图有两条边不交的哈密尔顿圈.第三章主要讨论拟阵基的交图中顶点不交的圈的性质.同样的,首先,给出了对于拟阵基的交图的一个简短的介绍.然后我们讨论了拟阵基的交图中的顶点不交的圈的一些性质,并给出证明.第四章主要讨论拟阵基图的整数流问题.在这一章里,我们首先给出了对于整数流和群连通度的一个简短的介绍以及一些已知的结论.之后,我们讨论了拟阵基图的群连通性以及拟阵基图上的处处非零的3-流,我们证明了简单拟阵的拟阵基图上有处处非零的3-流.
【作者】张英豪；
【导师】刘桂真；
【作者基本信息】山东大学，运筹学与控制论，2014，博士
【关键词】拟阵；拟阵基图；拟阵基的交图；哈密尔顿圈；处处非零3-流；

【参考文献】
[1]陈皓勇,付超.统一价格和PAB竞价的实验分析[J].电力系统自动化,2007,04:12-17.
[2]倪峤.投资者情绪与盈余公告后漂移行为[D].华东理工大学,会计（专业学位）,2014,硕士.
[3]崔小鹏.SERPINB1与肝细胞肝癌的相关性研究[D].苏州大学,外科学（专业学位）,2014,博士.
[4]钱宇.略论月份牌广告画[D].苏州大学,艺术设计学,2003,硕士.
[5]唐文琴.协同教育视角下中国家校关系的失衡与反思[D].西南大学,教育学原理,2013,硕士.
[6]王伟.大连普湾新区城镇化与工业化协同发展研究[D].大连海事大学,产业经济学,2014,硕士.
[7]安汉那.韩国全日制初中汉语教材的考察与分析[D].沈阳师范大学,语言学及应用语言学,2013,硕士.
[8]赵欣.基于国家形象传播理论视角下的外宣纪录片翻译研究[D].兰州理工大学,外国语言学及应用语言学,2014,硕士.
[9]贾品.2型糖尿病的医疗保险审核模型构建研究[D].复旦大学,社会医学与卫生事业管理,2012,硕士.
[10]赵强.基于Camera Link的数字图像采集处理及以太网传输系统[D].重庆大学,电子与通信工程（专业学位）,2014,硕士.
[11]吕冰海,董晨晨,邓乾发,袁巨龙,范红伟,吴喆.可溶填充剂对孔隙自生成超硬磨料磨具孔隙生成的影响[J].机械工程学报,2014,15:172-179.
[12]徐洪涛,王跃钢,邓卫强.基于自组织神经网络的非平稳信号盲分离[J].控制与决策,2011,05:748-752.
[13]毛超超.钨酸铋和二氧化铈微纳米材料的液相合成、表征及性能研究[D].西北大学,材料化学,2013,硕士.
[14]杨绪兵.线性判别分析及其推广性研究[D].南京航空航天大学,计算机软件与理论,2003,硕士.
[15]刘国振.DN2400氨合成塔端部强度分析[D].河北科技大学,机械工程,2012,硕士.
[16]王东.中美商业银行效率比较研究[D].华东交通大学,产业经济学,2013,硕士.
[17]邵楠.不同开孔洞形式单筒式钢筋混凝土烟囱设计方法研究[D].大连理工大学,建筑与土木工程（专业学位）,2013,硕士.
[18]邢玉金.PVDF基复合凝胶聚合物电解质的制备及其性能研究[D].江苏科技大学,材料加工工程,2014,硕士.
[19]刘占清.环氧改性水性聚胺酯的合成及其在碳纤维上胶剂中的应用[D].北京化工大学,2012.
[20]管海芹.ABC公司对外贸易业务外汇风险管理研究[D].山东大学,工商管理（专业学位）,2013,硕士.
[21]成珞.关于古凯尔特人在爱尔兰的播迁和发展[D].华东师范大学,世界史,2004,硕士.
[22]李韬.B超引导下经皮肾穿刺微造瘘术在恶性输尿管梗阻中的应用[D].广西医科大学,肿瘤学（专业学位）,2013,硕士.
[23]王海.计入桨叶结构弹性的新型桨尖旋翼流场数值模拟研究[D].南京航空航天大学,2010.
[24]关东.木版画艺术的刀法研究[D].苏州大学,美术学,2013,硕士.
[25]张尧.现代商业银行资本结构治理效应研究[D].东北财经大学,金融学,2003,硕士.
[26]龙红,雷超,陈超.基于VisualFoxPro实现数据仓库技术[J].四川轻化工学院学报,2002,03:29-32.
[27]李莎莎.腺病毒介导的心肌营养素-1 对大鼠骨髓间充质干细胞向神经方向分化及存活的作用[D].遵义医学院,儿科学,2013,硕士.
[28]毛欢欢.基于ZigBee的医疗监护系统的设计[D].武汉理工大学,信号与信息处理,2013,硕士.
[29]孔宪丽.中国钢铁工业供需影响因素分析及其景气指数的开发与应用研究[D].吉林大学,数量经济学,2004,硕士.
[30]赵菁.利用高炉水淬渣制备a-Sialon/SiC复合材料的组织与性能[D].东北大学,材料学,2009,硕士.
[31]左怀玲.人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级上册第四章“数据的收集与整理”简介[J].中小学教材教学,2004,27:5-8.
[32]江森卓.现代汉语上下关系时间词语[D].华东师范大学,汉语言文字学,2004,硕士.
[33]王远熙.医药企业KY集团发展战略研究[D].天津大学,工商管理,2013,硕士.
[34]蔡俊英.安徽省H集团全面预算管理应用研究[D].安徽大学,工商管理,2014,硕士.
[35]桂惠明.1、上尿路移行细胞癌预后因素研究进展2、甘肃省临洮县新添中心卫生院基本药物政策实施绩效调查[D].兰州大学,外科学,2013,硕士.
[36]张文兵.基于碎片化学习的邮件订阅系统设计与实现[D].华中师范大学,现代教育技术,2014,硕士.
[37]孙晗.海事英语新闻中v-ing形式的汉译实践报告[D].大连海事大学,英语笔译,2014,硕士.
[38]薛峰松,吴岩,崔允武.大型工业厂房拆除爆破[J].工程爆破.1997(01)
[39]王燕.我国证券业系统性风险研究[D].山西财经大学,金融学,2014,硕士.
[40]司录荣.轴向柱塞泵的有限元分析及壳体的优化设计[D].中北大学,机械工程,2014,硕士.
[41]徐登兰.丽蚜小蜂与浅黄恩蚜小蜂的种间竞争研究[D].浙江大学,植物保护（专业学位）,2013,硕士.
[42]王亚丽.公共危机事件中都市报舆论引导研究[D].山东师范大学,新闻学,2013,硕士.
[43]刘川.响应型非线性船舶模型的鲁棒神经网络控制[D].大连海事大学,控制理论与控制工程,2004,硕士.
[44]倪婵.H公司盈余质量分析[D].华中科技大学,会计,2013,硕士.
[45]梅鸣.中国慈善组织管理与监督制度研究[D].宁波大学,政府管理（专业学位）,2012,硕士.
[46]李菲菲.初中英语十年课程改革的现状、问题与建议[D].沈阳师范大学,课程与教学论,2014,硕士.
[47]闫静.宁夏医科大学学生信息管理系统的设计与实现[D].西安科技大学,计算机技术,2014,硕士.
[48]邓振.农村独生子女家庭与非独生子女家庭养老对比研究[D].湖南师范大学,社会学,2013,硕士.
[49]金河守.阿尔泰语系诸民族的原始意象“太阳”比较研究[D].延边大学,亚非语言文学,2014,博士.
[50]毛科技,赵小敏,何文秀,夏明,王磊,陈庆章.WSN中基于区域划分的半自动DV-Hop定位算法[J].计算机科学,2012,03:39-42+70.